Un decadimento radioattivo consiste nella trasmutazione di un nucleo in un altro nucleo diverso dal primo. Il processo può essere molto complicato dal punto di vista fisico, ma la cosa fantastica è che dal punto di vista quantitativo la matematica è molto semplice! Sono solo equazioni differenziali di primo grado e funzioni esponenziali!

Cosa intendo con “punto di vista quantitativo”? Il trucco (che io trovo parecchio interessante) è quello di chiedersi “quante specie ho di questo nucleo in questo istante di tempo, e quante ne avrò nell’istante di tempo successivo?”

Di sicuro per via del decadimento le specie di nucleo in esame diminuiranno (per diventare altre specie di cui per ora non mi interesso): il punto è quanto diminuiranno in un determinato intervallo di tempo $dt$ infinitesimo?

Indichiamo con $N_a(t)$ il numero di nuclei di specie “ $a$ ” all’istante di tempo $t$. Supponiamo che in un intervallo di tempo $dt$ decadano $dN_a$ nuclei. Chiaramente più sono i nuclei $N_a(t)$, più saranno i nuclei che decadranno in un tempo $dt$. Inoltre più tempo considero, più decadimenti avrò e quindi maggiore sarà la variazione $dN_a$. Siccome $dN_a$ si riferisce a una diminuzione di nuclei, dovrò introdurre un segno negativo. Tutto quello che abbiamo detto suggerisce fortemente una relazione di proporzionalità diretta del tipo:

$$ dN_a=-N_a(t)\lambda_Adt $$

in cui $\lambda_A$ è una qualche costante che introduciamo per far tornare le dimensioni: siccome $N_a$ sono numeri puri, ci serve una costante $\lambda$ per cancellare al dimensione temporale di $dt$, quindi $\lambda_A$ ha le dimensioni dell’inverso di un tempo. La possiamo definire come:

$$ \lambda_A=\frac{1}{\tau_A} $$

Una volta fatto ciò, abbiamo ottenuto un’equazione differenziale facilmente risolvibile per separazione di variabili:

$$ \frac{dN_a}{N_a(t)}=-\lambda_Adt\quad\quad\to\quad \ln \frac{N_a(t)}{N_a^0}=-\lambda_A t $$

ovvero

$$ N_a(t)=N_a^0e^{-\lambda_A t} $$

che è la legge di decadimento esponenziale dei nuclei radioattivi.

Si nota che maggiore è $\tau_A$, cioè minore è $\lambda_A$, meno velocemente si avrà decadimento. Una quantità degna di nota (sperimentalmente) è il tempo di dimezzamento, cioè quell’istante $t_{1/2}$ in cui $N_a(t_{1/2})=N_a^0/2$ ovvero

$$ \frac{1}{2}=e^{-\lambda_At_{1/2}}\quad\quad\to\quad\quad t_{1/2}=\tau_A\ln 2 $$

Da cui possiamo dare una definizione di $\tau_A$ chiamandola “vita media” della specie

$$ \tau_A\equiv \frac{t_{1/2}}{\ln 2} $$

Un aspetto interessante è che il nome “vita media” ha abbastanza senso se consideriamo la seguente quantità: $\lambda_AN_a(t)$, chiamata “attività” della specie. Definiamo $A\equiv \lambda_AN_a(t)$, la quale ha le dimensioni di “decadimento al secondo” (altrimenti noto come Becquerel). L’unità di misura della radioattività è infatti direttamente collegato alla definizione di “attività”. Spesso si usa l’unità di misura “Curie”, dove 1 Curie sono $3.7\cdot 10^{10}Bq$.

Ciò che è interessante dell’attività è che può essere interpretata come una distribuzione di probabilità la cui costante di normalizzazione è il numero iniziale di nuclei. Nel senso che la quantità $f(t)$ ha la seguente proprietà di normalizzazione

$$ f(t)=\frac{1}{N_a^0}A(t)\quad\to\quad \int_0^{\infty} f(t)dt=1 $$