Ho trovato interessante la teoria del decadimento $\alpha$, perché evidenzia il modo in cui i nuclei pesanti (in special modo quelli con $A\ge 190$) cercano di raggiungere una stabilità: emettendo frammenti di sé. Il decadimento è schematizzato con

$$ {}Z^AX\to {}{Z-2}^{A-4}Y+\alpha $$

cioè vengono emessi due protoni e due neutroni sotto forma di stato legato di particella $\alpha$ (tale stato ha una binding energy di $28.3\,\text{MeV}$). Il decadimento può avvenire solo se l’energia cinetica dei suoi prodotti è positiva, cioè se quello che viene definito Q-valore: $Q=\text{somma energie cinetiche}$ è positivo. Per la conservazione dell’energia si ha (nel limite non relativistico trattandosi di energie di pochi MeV)

$$ Q=M_X-M_Y-m_\alpha>0 $$

Alcune infografiche sul decadimento $\alpha$:

• Si osserva che è sempre $4\,\text{MeV}\le Q\le 8\,\text{MeV}$
• I tempi di decadimento spannano ben TRENTA ordini di grandezza, e si nota che l’andamento è del tipo $\ln \tau\propto1/\sqrt{Q}$, cioè all’aumentare del $Q$ valore, i tempi di decadimento diminuiscono. Questa è detta relazione di Geiger-Nuttall, evidenziata dal grafico sottostante

Relazione di Geiger-Nuttall

Alcune domande interessanti e legittime

È interessante anzitutto provare a indovinare come mai il Q valore sia compreso tra quei due valori dell’energia, e inoltre provare anche a capire come ricavare il curioso andamento di Geiger-Nuttal: $\ln \tau\propto1/\sqrt{Q}$.

Per la prima domanda basterà provare a calcolare a mano il Q-valore utilizzando le binding energies dei nuclei coinvolti, mentre per la seconda domanda bisognerà provare a indovinare un modello teorico per capire come la particella $\alpha$ possa uscire dal nucleo con quell’energia.

Inoltre è interessante capire perché un nucleo debba proprio decadere in particelle $\alpha$! Non potrebbe emettere nuclei di idrogeno, trizio, deuterio ecc.? La risposta a questa domanda è che l’emissione di particelle $\alpha$ è l’unica che genera un $Q$ valore positivo! Si tratta quindi di una questione di energetica.

Stima del Q-valore con le binding energies

Ricordiamo che la massa di un nucleo è data da (unità di $c=1$)

$$ M=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z) $$

Quindi per i nuclei $M_X,M_Y,m_\alpha$ si ha

$$ M_X=Zm_p+(A-Z)m_n-B(A,Z) $$

$$ M_Y=(Z-2)m_p+(A-Z-2)m_n-B(A-4,Z-2) $$

$$ m_\alpha=2m_p+2m_n-B_\alpha $$

Calcoliamo quindi $M_X-M_Y-m_\alpha\equiv Q$. Nel fare ciò, tutti i termini con $m_p,m_n$ si semplificano per ragioni di conservazione del numero barionico. Quindi rimangono