Non abbiamo modo di osservare il nucleo ad occhio nudo, quindi serve avere un po’ di fantasia per immaginarci la situazione dinamica al suo interno. Di certo per una questione di conservazione dell’energia, l’energia di massa del nucleo dovrà essere data dalla somma tra le energie di dinamica dei costituenti (dovute al loro moto e alle loro interazioni) e alla loro energia di massa.

L’equazione del bilanciamento energetico si scriverà:

$$ M=\frac{E}{c^2}=\sum_i^N m_i+\underbrace{\frac{1}{c^2}E_{cin}}\text{cinetica}+\underbrace{\frac{1}{c^2}E{int}}_\text{interazione} $$

Siccome vogliamo che i costituenti formino un sistema legato, ci aspettiamo che la quantità $E_{cin}+E_{int}$ sia negativa (come da definizione per tutti i sistemi legati). Ciò significa che deve essere energia di legame negativa $E_g=E_{cin}+E_{int}$.

Definiamo allora la differenza tra massa del sistema composto e massa dei costituenti come l’energia del sistema legato, che vogliamo sia minore di zero

$$ E_{cin}+E_{int}=(M-\sum_i m_i)c^2<0 $$

cioè la massa del nucleo deve sempre essere inferiore alla somma delle masse dei suoi costituenti. I fisici nucleari amano definire l’energia di legame con il segno opposto , chiamandola binding energy $B\equiv -E_g$, la quale sarà quindi una quantità sempre positiva per definizione.

Scriveremo quindi per ciascun nucleo:

$$ M=\sum m_i-\frac{B}{c^2} $$

La cosa interessante di queste considerazioni teoriche è che non abbiamo modo di misurare direttamente la massa del nucleo, perché per fare ciò dovremmo essere in grado di separarlo da tutti i suoi elettroni (compito non sempre accessibile).

<aside> 👉🏻 Per studiare l’interazione nucleare, vogliamo avere delle informazioni sulle varie binding energy (in quanto hanno a che fare proprio con l’interazione nucleare!). Tuttavia se non conosciamo $M$, possiamo fare poco.

</aside>

Si potrebbe aggirare il problema, dicendo “ok, ma le masse degli atomi le sappiamo studiare, basta usare gli spettrometri di massa!”. La massa dell’atomo sarà data da

$$ m_A=M+\sum_e m_e+b_e/c^2 $$

dove $\sum_e m_e$ è la somma sulle masse di tutti gli elettroni dell’atomo, $M$ la massa del nucleo e $b_e$ l’enegia di legame degli elettroni (che però è spesso dell’ordine di pochi $eV$ o poche centinaia di $eV$) quindi può essere trascurata. Quindi possiamo ricavare

$$ M=m_A-\sum_em_e $$

Esprimendo poi $\sum m_i$ (cioè la somma delle masse dei protoni e neutroni) come $\sum m_i=Zm_p+Nm_n$ in cui $Z$ e $N$ specificano quanti protoni e neutroni abbiamo nel nucleo, si ha quindi

$$ m_A-\sum_e m_e=Zm_p+Nm_n-B/c^2 $$

Da cui possiamo ricavare una formula per la binding energy. Supponendo che l’atomo sia neutro allora $\sum_e m_e=Zm_e$, ed eliminiamo $N$ in favore di $N=A-Z$. Si ha

$$ \frac{B}{c^2}=(m_p+m_e)Z+(A-Z)m_n-m_A $$

riconosciamo che $m_p+m_e\approx m(\text{H})$ cioè la massa dell’atomo di idrogeno. Quindi nota la massa dell’atomo e la massa dell’idrogeno si ricava per ciascun nucleo il valore della binding energy